Net induktivitás

Az előző blogbejegyzésben megnéztük, hogy miként lehet kiszámolni egy vezető parciális öninduktivitását és parciális kölcsönös induktivitását, most nézzük meg mire tudjuk használni ezeket a gyakorlatban.

Az 1. ábrán egy PCB-re jellemző áramhurkot láthatunk. A szokásos elnevezést használva a felső keskeny vezetősávot $Signal$-nak nevezzük, az alsó széleset pedig $Return$-nek (ez utóbbit szokták a GND-vel azonosítani). Ha jobban megnézzük az ábrát, azt láthatjuk hogy a $Signal$ vezetősáv vége egy rövidzárral kapcsolódik a $Return$-höz. Ez most csak az egyszerűség miatt lett így rajzolva, a való életben ott sokféle terhelés lehet, például egy IC bemenet, egy lezáró ellenállás, stb.

Lényeges kérdés, hogy miért érdekes számunkra az áramhurok induktivitása? 

1. ábra: Áramhurok a PCB-n

A vezeték körül létrejövő mágneses erővonalaknak van egy érdekes tulajdonsága: ha valamilyen okból változik a számuk, feszültséget indukálnak az általuk körülvett vezetőben, ezt fedezte fel Faraday 1831-ben. Manapság sokszor hivatkoznak az általa felírt indukciótörvényre úgy mint Faraday indukciótörvénye. Ez alapján, ha egy vezető körül változik a mágneses tér mennyisége, tehát a $\Phi$ fluxus, akkor a fluxus változásának sebességétől függő $V_{i}$ feszültséget indukál a vezetőben (tekercs esetén minden menetben).
$$V_{i}= -N*\frac{d \Phi}{dt}$$Erre mondhatjuk azt, hogy ez mind szép és jó, de a gyakorlatban általában semmit sem tudunk a vezetőt körbevevő fluxusról. Az előző bejegyzések egyikéből viszont már tudhatjuk, hogy egy tekercs vagy egy vezeték $L$ induktivitása csak annak mechanikai méreteitől függ. Továbbá azt is, hogy az induktivitás mérőszáma megadja hogy egységnyi áram hatására mekkora $\Phi$ fluxus jön létre a vezető körül:
$$L=\frac{\Phi}{I}~~~~\left [ \frac{Wb}{A} \right ]=\left [ Henry \right ]$$Tehát az $L$ induktivitás bevezetésével elkerülhetjük egy olyan mennyiség alkalmazását, amely mérése direkt módon elég nehézkes. Ezek alapján felírható hogy a $\Phi$ fluxus az $L$ induktivitás és az $I$ áram szorzata. Tehát Faraday indukciótörvénye felírható egy gyakorlati szempontból könnyebben kezelhető formában:
$$V_{i}= -N*\frac{d \Phi}{dt}=-L*\frac{di}{dt}$$Bizonyos megkötésekkel a fenti egyenletet még tovább egyszerűsíthetjük annak érdekében, hogy egy könnyen érthető fizikai képet alkothassunk az $L$ induktivitás vagy a $V_{i}$ indukált feszültség természetéről. Az előzőekből már tudjuk, hogy a mágneses tér ábrázolására használt erővonalak száma az ott létrejött $\Phi$ fluxussal arányos (az erővonalak sűrűsége pedig a $B$ fluxussűrűséggel). Tehát felfoghatjuk úgy is a fluxusváltozás sebességét, mint az erővonalak számának változási sebességét.
$$V_{i}= -N*\frac{d \Phi}{dt}=-L*\frac{di}{dt}=-\frac{\Delta N_{lines} }{\Delta t }$$Ha változik az áram a hurokban, az direkt módon az erővonalak számának változását is maga után vonja mind a $Signal$ mind a $Return$ vezetősáv körül. A bennük indukálódott feszültség nagyságát pedig az határozza meg, hogy az össz-erővonalak száma milyen gyorsan változik körülöttük. Az indukálódott feszültség nagysága pedig azért nagyon fontos a számunkra, mert sok álmatlan éjszakától menthet meg minket az, ha tisztában vagyunk ennek alapvető fizikai működés módjával és ezáltal minimalizálni tudjuk az indukált feszültség nagyságát. Ami a teljesség igénye nélkül a következő valós problémákat tudja okozni: EMI, rail collapse, switching noise, ground bounce, ringing...
Tehát ezért fontos számunkra az áramhurok induktivitása.

Idáig csak elszeparált vezető szakaszok induktivitását vizsgáltuk, ez volt a parciális induktivitás. Itt olyan vezetőket vizsgáltunk amelyek nem képeztek valódi áramhurkot. A valóságban viszont minden áramkör zárt hurkot kell hogy alkosson. Ez fizikai törvény. Ilyen esetben is van értelme a parciális induktivitások kiszámításának, mert ezek összegéből adódik a hurok induktivitása.
A mi példánkban szereplő (1. ábra) áramhurok (ami még mindig nem egy zárt áramkör, viszont amit képzeletben azzá tehetünk, ha lezárjuk a hozzánk közelebb eső nyitott végét egy generátorral) felbontható két egymáshoz viszonylag közeli, párhuzamos vezetőre, ezek a $Signal$ és a $Return$. A másik két vezetőszakasz a hurok induktivitásába nem igazán szól bele, mert nagyon rövidek és nagyon távol vannak egymástól, ezért ezeket most elhanyagoljuk.

A $Signal$ esetében az össz-erővonalszám (ami a $Signal$-t körbeveszi zárt áramhurok esetén) a benne folyó áram által létrehozott saját erővonalakból (parciális öninduktivitás) és a $Return$-ben folyó áram által létrehozott azon erővonalakból tevődik össze ami a $Signal$-t is körülveszi, tehát a parciális kölcsönös erővonalakból. Itt fontos megjegyezni, hogy egy vezetőben csak olyan erővonal tud feszültséget indukálni ami körülveszi azt.
Nézzük meg hogyan is összegződnek ezek az erővonalak. Először jelenítsük meg a $Signal$ saját erővonalait (2. ábra). Erre egy nagyon jól használható program az ANSYS Maxwell, ebben mágneses- vagy villamos tereket könnyen tudunk szimulálni. A $Signal$ saját erővonalait úgy tudjuk megjeleníteni, ha a $Signal$-on áthajtunk mondjuk $1A$-t, viszont ez a $Return$-ben nem folyik vissza. Lényeges, hogy a $Return$-ben ne folyjon vissza az áram, mert egyébként már nem a $Signal$ saját erővonalképét kapnánk. Ha megszámoljuk a 2. ábrán az erővonalakat, pontosan $11$ darabot kapunk. A $11$ erővonalból kettő körülveszi a $Return$-t is, ez a kölcsönös erővonalak száma a $Signal$ és a $Return$ között. Az előzőekből már tudjuk, hogy a kölcsönös erővonalak egy érdekes tulajdonsága a szimmetria.

2. ábra: A Signal saját erővonalai 1A áram hatására

Ha megnézzük a fordított esetet a 3. ábrán ahol a $Return$-ön hajtjuk át az $1A$ áramot, a $Signal$-ban pedig nem folyik áram, azt fedezzük fel, hogy a kölcsönös erővonalak száma itt szintén $2$, tehát a szimmetria fennáll (Good job!). Mivel a $Return$ sokkal szélesebb, mint a $Signal$ ezért az áram jobban szét tud terjedni benne és így az induktivitása jóval kisebb, ami ugye az erővonalak számában is meg kell hogy mutatkozzon. Ha megnézzük az ábrát, azt látjuk, hogy a saját erővonalak száma itt csak $3$. Itt ki is emelhetünk egy fontos dolgot: minél jobban szét tud terjedni az áram a vezetőben, annál kisebb induktivitást kapunk. Tehát a lehető legkisebb induktivitást nagy széles vezetősávok alkalmazásával kapjuk, mind például a tápsíkok esetén. Érdekes fizikai jelenség hogy ugyan ebben az esetben, ahol az induktivitásnak a minimuma van ott a kapacitásnak pedig a maximuma. Pedig sokszor mindkét jellemző csökkentése lenne a kívánatos, viszont ez teszi a mérnöki munkát izgalmassá.

3. ábra: A Return saját erővonalai 1A áram hatására

Idáig mindig csak olyan esetet vizsgáltunk, ahol vagy csak az egyik, vagy csak a másik vezetőben folyt áram (ezzel vettük fel a saját- és a kölcsönös erővonalakat). Viszont a valóságban mindig, mindkét vezetőben, ugyanaz az áram folyik, mivel az áram mindig egy zárt hurkot képez, "visszatér a forrásához".
Tehát a valóságban egyszerre vannak jelen a $Signal$ saját erővonalai (amelyekből $n$ darab körülveszi s $Return$-t, ezek leszek az ő kölcsönös erővonalai), valamint a $Return$ saját erővonali (amelyekből $n$ darab körülveszi s $Signal$-t, ezek leszek az ő kölcsönös erővonalai). Ezek mindenképpen hatnak egymásra így kialakítva egy eredő erővonalképet. Csak ez az eredő erővonalkép az ami a valóságban létezik, amit vizsgálni is tudunk mondjuk vasreszelék segítségével. Az egyes vezetők saját- és kölcsönös erővonalainak kiszámítását csak a matematika teszi lehetővé, ilyen formában ezek csak papíron léteznek.
Számunkra az eredő erővonalképen adódó össz-erővonalak száma a fontos, az hogy az egyes vezetőket hány erővonal veszi körül. Ez a $Signal$ esetében úgy néz ki, hogy vannak körülötte saját erővonalak, amelyek a benne folyó áramtól származnak és vannak körülötte olyan erővonalak is amelyek körülveszik ugyan, de az alatta lévő $Return$-ben folyó áramtól származnak, ezek a kölcsönös erővonalak.
Mivel a mi esetünkben a két áram ellentétes irányú, ezért a saját- és a kölcsönös erővonalak is ellentétes irányúak. Így az össz-erővonalszám ami  a $Signal$-t körülveszi, a saját erővonalak és a kölcsönös erővonalak különbségéből adódik, más szóval az $L_{S}$ parciális öninduktivitás és az $L_{M}$ parciális kölcsönös induktivitás különbségéből. Az össz-erővonalszám is egy külön induktivitás fajtát határoz meg: nevezetesen a címben szereplő Net induktivitást.

$$\begin{matrix}L_{Net~Signal}=L_{S~Signal}-L_{M}\\L_{Net~Return}=L_{S~Return}-L_{M}\end{matrix}$$

4. ábra: Az áramhurok eredő erővonalképe, a Signal-ban folyó 1A áram a Return-ben tér vissza. A két áram iránya ellentétes!

A Net induktivitásnak viszont már van egy kézzel fogható jelentése: ez határozza meg azt, hogy egy áramhurok valamely részén mekkora feszültség fog indukálódni, ha változik a benne folyó áram. Például, ha minket csak a $Signal$-ban indukálódó feszültség érdekel, akkor azt az ő Net induktivitásával könnyen kiszámíthatjuk. A net induktivitás az áramhurok egy meghatározott részére vonatkozik, ez esetben a $Signal$-ra vagy a $Return$-re lehet kiszámolni, viszont annyiban különbözik a parciális ön- és kölcsönös induktivitástól, hogy figyelembe veszi a hurok többi részében folyó áramok hatását is. A 4. ábrán együtt ábrázoltuk a $Signal$-t és $Return$-t körülvevő össz-erővonalakat. Látható, hogy a $Signal$-t $11-2=9$ erővonal veszi körbe (sajár erővonalak mínusz a kölcsönös erővonalak). A $Return$-t pedig $3-2=1$ erővonal.

Áramkör tervezés során szinte mindig szempont a huzalozás induktivitásának ($L_{Net}$) alacsony szinten tartása az előzőekben már felsorolt problémák elkerülése érdekében. Ezt két fő szempont figyelembevételével tehetjük meg:

1. Lehetőleg kis értéken kell tartani a vezető $L_{S}$ parciális öninduktivitását, tehát a lehető legrövidebb útvonalon huzalozunk és lehetőségekhez mérten széles vezetősávokat alkalmazunk.
2. Viszont a két vezető közti $L_{M}$ parciális kölcsönös induktivitást a lehető legmagasabb! szinten kell tartani. Ezt úgy tudjuk megtenni, ha a $Signal$ és a $Return$ mindig fedésben van és a lehető legközelebb helyezkedik el egymáshoz képest. Tehát az úgynevezett ground plane alkalmazása szinte elkerülhetetlen (vagy legalábbis kívánatos).

Ezek után vegyünk egy-két gyakorlatibb példát is, ahol az előbbi irányelveket jól lehet alkalmazni ahhoz, hogy az áramutak induktivitását minimális szinten tartsuk. A teljesítmény elektronika világában a power module-ok (5. ábra) tervezésénél különösen fontos, hogy a lehetőségekhez képest mindig a legkisebb induktivitású összeköttetéseket alakítsák ki. Ha az IGBT chip és az őt vezérlő gate driver közti összeköttetés induktivitása túl nagy, akkor a gate driver nem tudja minden pillanatban a vezérlésnek megfelelő állapotban tartani az IGBT chipet és ezért az átkapcsolásoknál összenyitás történhet. Erről a problémáról persze szakdolgozatot lehetne írni, de ezt most idő és érdeklődés hiányában elhalasztjuk.

5. ábra: Egy half-bridge topológiájú power module

Vegyünk szemügyre a 6. ábrát, ahol egyetlen IGBT chipet és annak bekötéseit látjuk. A nagyáramú bekötés a bal oldalon (kollektor-emitter), a vezérlés a jobb oldalon (gate-emitter sense). A nagyáramú emitter bekötéshez $2db$, egyenként $250\mu m$ átmérőjű alumínium bond huzalt használtak. A chip kollektora pedig forrasztással csatlakozik az alatta lévő réz fóliához.

6. ábra: Gate-Emitter sense hurok induktivitásának csökkentése egy IGBT chip esetén

Először nézzük meg, hogyan lehet a vezérlés oldali (jobb oldali) bekötést optimalizálni. Mivel itt nem folynak igazán nagy áramok (a csúcsáramok több amperek is lehetnek, de ennek az RMS értéke kicsi), ezért a bond huzal átmérőjét is választhatjuk kisebbre, mondjuk $125\mu m$-re. Természetesen nagyobb átmérőjű huzal alkalmazása esetén kisebb induktivitást kapnánk, de mivel a huzal átmérőtől csak gyengén függ az induktivitás, ezért ettől a módszertől most eltekintünk.

A gate és az emitter sense huzal által határolt rész még mindig csak egy része a teljes huroknak, a többi részét pedig az egyszerűség kedvéért most nem ismerjük. A két bond által alkotott kvázi hurok induktivitása egyenlő a két huzal Net induktivitásának összegével.

$$ L_{loop} = L_{Net~gate} + L_{Net~emitter~sense} $$

$$ L_{loop} = (L_{S~gate}-L_{M}) + (L_{S~emitter~sense} - L_{M}) $$A hurok induktivitásának minimalizálásához az előzőekben felsorolt két pontot kell követnünk. Tehát a két huzal $L_{S}$ parciális öninduktivitását csökkenteni kell, ennek az a módja, ha a lehető legrövidebb huzalokat használjuk az összekötésekhez. Most ennek lehetőségétől tekintsünk el, mondjuk azt hogy a design nem engedi meg rövidebb huzal használatát. Mivel a gate és az emitter sense huzal egyaránt $10mm$ hosszú és $0.125mm$ átmérőjű, ezért az $L_{S}$ parciális öninduktivitása a közelítő képlet segítségével:

$$ L_{S} = 0.2l \left[ ln \frac{ 2l }{ r } -0.75 \right] = 0.2l \left[ ln \frac{ 2*10mm }{ 0.0625mm } -0.75 \right] = 10.0nH $$tehát az $L_{S~gate}=L_{S~emitter~sense}=10nH$, mivel megegyezik a geometriájuk.

A hurok induktivitás csökkentésének másik pontja azt mondja, hogy a két vezető közti $L_{M}$ parciális kölcsönös induktivitást a lehető legmagasabb szinten kell tartani. Ehhez a lehető legközelebb kell vezetni egymáshoz a két ellentétes irányú áramot vivő vezetőt. Nézzük meg ezt számszerűleg. Ha viszonylag közel, például $1.5mm$-re tesszük egymástúl a két bonhuzzalt, akkor e kettő között az $L_{M}$ parciális kölcsönös induktivitás értéke:

$$L_{M}=0.2l\left [ ln\left ( \frac{2l}{s} \right ) -1 +\frac{s}{l} -\left ( \frac{s}{2l} \right )^{2} \right ]$$ $$=0.2*10mm\left [ ln\left ( \frac{2*10mm}{1.5mm} \right ) -1 +\frac{1.5mm}{10mm} -\left ( \frac{1.5mm}{2*10mm} \right )^{2} \right ]=3.46nH$$
Ha viszont kihasználjuk a rendelkezésre álló helyet és a két huzalt távolabb, mondjuk $5mm$-re tesszük egymástól, akkor a parciális kölcsönös induktivitás rögtön a felére csökken:
$$L_{M}=0.2*10mm\left [ ln\left ( \frac{2*10mm}{5mm} \right ) -1 +\frac{5mm}{10mm} -\left ( \frac{5mm}{2*10mm} \right )^{2} \right ]=1.64nH$$
A 7. ábrán ábrázoltuk a különböző induktivitások alakulását. Az $L_{S}$ parciális öninduktivitása az egyes huzaloknak ugye fix, csak a hosszuktól függ, de ez most nem változik. Az $L_{M}$ parciális kölcsönös induktivitás a két huzal között pedig a köztük lévő távolság függvénye, ami a kis távolságok esetén meredeken nő. Az $L_{Net}$ net induktivitás pedig az $L_{S}$ és az $L_{M}$ különbsége, mivel bennük az áram iránya ellentétes és ezért egymás mágneses terét gyengítik.
Tehát az egyes bondhuzalok $L_{Net}$ net induktivitását, (amit már a valóságban mérhető fizikai jellemző és tőle függ a huzalban indukálódott feszültség nagysága) úgy lehet csökkenteni hogy közel visszük hozzá a visszatérő áramot vivő bondhuzalt. Az általunk felrajzolt "hurok" $L_{LOOP}$ induktivitását pedig egyszerűen kiszámolhatjuk a hurkot alkotó részek $L_{Net}$  induktivitása ismeretében, ugyanis ezeket csak össze kell adni és ezzel meg is határoztuk a hurok induktivitását.

7. ábra: Induktivitások alakulása a gate és az emitter sense huzalok $l1$ távolsága függvényében

A 7. ábrán lévő karakterisztikákból jól látható, hogy nagyon nem mindegy, hogy milyen messze vezetjük a visszatérő áramot vivő bondhuzalt, mivel ezzel elég széles tartományban tudjuk változtatni a $L_{LOOP}$ hurok induktivitását. A két szélsőérték között ($0.5mm$ és $8mm$) a hurok induktivitása a duplájára nőhet. 

Ha a chip nagyáramú bekötésénél is a lehető legkisebb induktivitást szeretnénk elérni, akkor ott pont ellenkezőleg kell eljárnunk, tehát a lehető legmesszebb kell elhelyezni a bondhuzalokat. Mindezt azért, mert az ott lévő két bondhuzalban az áramok iránya megegyezik és egymás mágneses terét erősítik.

8. ábra: Induktivitások alakulása a két emitter huzal $l2$ távolsága függvényében

Ebben az esetben a hurok induktivitása jóval kisebb, mint az előzőnél, mert a hurok maga is fele olyan hosszú. Hurokról tulajdonképpen nem is beszélhetünk, inkább két párhuzamosan kapcsolt bondhuzal eredő induktivitásáról. Lényeg a lényeg, minél messzebb tesszük egymástól a két bondhuzalt, annál kevésbé erősítik egymás mágneses terét, így az eredő induktivitásuk kisebb lesz. Végtelen távolság esetén az eredő induktivitás a parciális öninduktivitás fele lesz. Ennél kisebb csak végtelennél nagyobb távolságok esetén érhető el.


A következőben a tuti bypass kondenzátor bekötés receptjét keressük. Tehát, hogyan tudjuk a legkisebb induktivitással bekötni a power plane-hez, már ha van ilyenünk.
A 8. ábrán összegyűjtöttem pár képet az internetről, amik különböző ajánlásokat adnak a meg(nem)felelő bekötésekről. Nézzük meg jól ezeket, nem leszünk tőlük sokkal okosabbak, mert csak annyit mondanak az egyes kialakításokról hogy: nagyon rossz, rossz, jó, legjobb... viszont a miért?-ről egyik sem mesél.

9. ábra: "Így kösse be bypass kondiját!" (az interneten számos formában elérhető)

Az alapelv itt is ugyanaz, mint az előzőekben. Azonos irányú áramokat vivő viákat a lehető legmesszebb, az ellentétes irányú áramot vivő viákat pedig a lehető legközelebb tegyük egymáshoz.

Tehát, (skubizd a 10. ábrát) $l1$ távolságot növelni, $l2$ távolságot csökkenteni, párhuzamos viák számát növelni. Persze nem érdemes végtelen számúra választani a párhuzamosan kapcsolt viák számát mert azokkal százalékosan már nem érhetünk el akkora eredményt. Hozzátenném azért, hogy kicsit túlzás hat viával bekötni egy 0603-as kondit, én is csak maximum kettővel szoktam.

10. ábra: Bypass kondi kis induktivitású bekötése