Parciális induktivitás

Manapság ha áramkör tervezésről van szó, elkerülhetetlen, hogy a tervezés során ne számoljunk a különböző alkatrészek és a vezetősávok induktivitásával. Ha ezekkel mégsem törődünk, akkor könnyen megeshet, hogy a parazita induktivitások számlájára írható jelenségek áldozatává válik az áramkörünk. Ilyen meglepetések lehetnek a következők: túl nagy áthallás, EMI problémák, rail collapse, kapcsolási zaj, ground bounce, ringing (sajnos nincs mindegyiknek magyar megfelelője). 
Miért is olyan fontos számunkra a parciális induktivitás? Mert ennek segítségével tudjuk igazán megérteni az induktivitás lényegét, azt hogy milyen fizikai paraméterektől hogyan függ az értéke. Önmagában induktivitásról beszélni viszont megtévesztő lehet, mivel elég sok fajtája létezik, megkülönböztetünk ugyanis:

• áramhurok öninduktivitást
• áramhurkok közti kölcsönös induktivitást
• parciális öninduktivitást
• parciális kölcsönös induktivitást
• total-, net-, vagy effektív induktivitást
• internal induktivitást
• external induktivitást
• ekvivalens induktivitást
• ...

1. ábra: Egyenes vezető körül létrejövő indukcióvektorok
(Ansys Maxwell)

Először érdemes tisztázni, mi is az az induktivitás: nem más, mint az energia tároló képesség mérésére szolgáló mennyiség, mégpedig mágneses tér formájában. Ahogy a kondenzátor esetén a (szétválasztott) nyugvó töltések villamos tere képes energiát tárolni, úgy a vezetékben folyó áram (mozgó töltések) mágneses tere is energiát tárol. Ezért minden vezeték amiben áram folyik, energiát tárol maga körül. Egy tekercs esetében pont ez a cél, hogy energiát tároljunk benne, de ha csak egy sima vezetékre gondolunk, akkor ez a nem kívánt effektus sokszor problémát okozhat, ugyanis a vezeték körül lévő mágneses tér változása felelős többek között az EMI problémákért, áthallásért, kapcsolási zajért vagy a rail collaps-ért. 

Matematikailag az induktivitás nem más, mint az áram által létrehozott $B$ indukció felületi integrálja, osztva az őt létrehozó árammal:$$L=\frac{1}{I} \int_{A}^{ } Bda$$

Mértékegysége a $Henry$, jelölése: $H$. Ha ránézünk erre a szép képletre, azt gondolhatjuk, hogy nem sokat fog segíteni hétköznapi (villamosmérnöki) problémák megoldásában. Ha viszont az induktivitás mértékegységét felbontjuk más mértékegységekre, akkor abból sok hasznos információhoz juthatunk az induktivitás könnyebb megértéséhez:

$$\left [ Henry \right ]= \left [ \frac{Weber}{Amper} \right ] ~~~ \rightarrow ~~~ L=\frac{\Phi}{I}$$Tehát egy vezeték $L$ induktivitása annak a mérőszáma, hogy a benne folyó $I$ áram mennyi $\Phi$ mágneses teret generál körülötte. Ebből már levezethető hogy egy kétszer akkora induktivitású vezeték kétszer annyi mágneses teret fog létrehozni maga körül ugyanazon áram hatására. Vagy ha egy vezetékben az áram kétszeresére nő, akkor a körülötte lévő mágneses tér is megduplázódik, viszont a $\Phi / I$ hányados ami az induktivitást adja konstans marad. Tehát ha az áramot növeljük a vezetékben az nem fogja az induktivitását  befolyásolni (de a mágneses tér mennyiségét igen). Az előző blogbejegyzésből már tudjuk, hogy a mágneses tér mennyiségét az erővonalak számával is megadhatjuk. Ezért ezek után a mágneses tér mennyiségére már csak mint az erővonalak számára fogok utalni.

Most akkor nézzük meg milyen paraméterek azok, amik befolyásolhatják egy áramot vivő vezeték körül létrejövő erővonalak számát:

• Nem meglepő módon, a vezeték hossza növeli a körülötte lévő erővonalak számát. Majd később kitérünk arra, hogy pontosan milyen módon.
• A vezeték keresztmetszete is befolyásolja az erővonalak számát. Ez már nem olyan magától értetődő, de kisebb keresztmetszetű vezeték körül több erővonalat számlálhatunk ugyanakkora áram esetén (most maradjunk csak a kör keresztmetszetű vezetékeknél). Ez a paraméter nincs olyan nagy hatással az erővonalak számára, a továbbiakban erről is többet megtudhatunk.
• A vezeték anyaga is hatással van az erővonalak számára, ha az ferromágneses anyagból van. Viszont a vezető anyaga csak azon erővonalak számát növeli, amelyek a vezeték belsejében (az anyagában) jöttek létre. Ugyanis nem csak a vezeték köröl, hanem a vezetékben is létrejönnek erővonalak.  Ezek nagyfrekvencián majdnem teljesen eltűnnek és kisfrekvencián is elhanyagolható a számuk.
• A következő hatás már nem a vezető saját paraméter, de itt kell megemlíteni. A vizsgált vezetékünk körül létrejött erővonalak száma úgy is nőhet, hogy a közelében lévő ugyancsak áramot vivő vezeték erővonalai körbefogják. Minél közelebb kerül a másik áramot vivő vezeték, annál több tőle származó erővonal fogja körülvenni a vizsgált vezetékünket.

Az induktivitás leegyszerűsítve, annak a mérőszáma, hogy hány erővonal jön létre a vezető körül ha abban $1A$ áram folyik. Teljesen figyelmen kívül kell hagyni az erővonalak sűrűségét, vagy azt hogy milyen gyorsan változik a számuk, csak az számít hogy hány erővonal veszi körül a vizsgált vezetőt ha abban $1A$ áram folyik. Így ha $1nWb$-nyi erővonalat számlálunk az $1A$-t vivő vezeték körül, akkor $L=\Phi / I = 1nH$ az induktivitása. Ezt kizárólag a vezeték geometriája (hossza, alakja, átmérője) befolyásolja (ha eltekintünk ferromágneses anyag jelenlététől).

Egy vezeték körül lévő erővonalak két forrásból származhatnak, ez egyik ugye a vizsgált vezetékben folyó áram, ezeket hívjuk saját erővonalaknak. A másik forrása pedig egy mellette lévő másik, áramot vivő vezeték is lehet, a tőle származó erővonalakat kölcsönös erővonalaknak hívunk. Ezek alapján kétféle induktivitást különböztethetünk meg, mégpedig öninduktivitást, amibe a saját erővonalakat számláljuk bele és kölcsönös induktivitást, amibe a kölcsönös erővonalakat számláljuk bele. Ahogy a 2. ábrán láthatjuk, azok a saját erővonalak, amik az induktivitás szempontjából vizsgált (piros színű) vezetékünkben folyó áram hatására jönnek létre.

2. ábra: Saját erővonalak

Ha azonban egy másik vezeték is van a közelben, akkor az ebben folyó áram által létrehozott erővonalak közül néhány közrefoghatja a vizsgált vezetékünket. Az ilyeneket hívjuk kölcsönös erővonalaknak, angolul mutual field lines (3. ábra). A vizsgált $A$ vezeték közelében lévő $B$ vezetékben áram folyik, ennek erővonalai közül néhány körülfogja az $A$ vezetéket. Ha a két vezetéket távolítjuk egymástól, akkor a kölcsönös erővonalak száma csökken, ha közelítjük őket, akkor nő.

3. ábra: Kölcsönös erővonalak

Ha $A$ és $B$ vezetőben is folyna áram, akkor mindkettőnek lennének a saját áramából származó saját erővonalai. És lennének olyan erővonalak is amik körbeveszik ugyan, de a másik vezető áramából származnak.

Ezek után már kiszámolhatjuk az teljes erővonal számot az egyes vezetékek körül. Ha mindkét vezetékben folyik áram és ezek iránya megegyezik, akkor csak össze kell adni az egyes vezetékek körül a saját és kölcsönös erővonalak számát, mivel ezek iránya megegyezik. Ellentétes irányú áramok esetén ki kell vonni a saját erővonalak számából a kölcsönös erővonalak számát.

Tehát az öninduktivitás annak a mérőszáma, hogy hány erővonal jön lére a vizsgált vezető körül, ha abban $1A$ áram folyik.

A kölcsönös induktivitás két vezető között pedig annak a mérőszáma hogy hány erővonal jön létre a vizsgált vezető körül, ha a közelében lévő másik vezetékben $1A$ áram folyik.

Fontos itt megjegyezni, hogy a kölcsönös induktivitásnak van két szokatlan tulajdonsága:

1. Szimmetrikus, ez azt jelenti, hogy ha $1A$-t áthajtunk az egyik vezetőn, akkor éppen annyi kölcsönös erővonalat számlálhatunk a másik vezető körül, mint fordított felállásban. A két vezető öninduktivitása bármennyire is különbözik, a kölcsönös erővonalak száma mindig ugyanannyi. Ez akkor is igaz, ha az egyik egy keskeny vezetősáv, a másik pedig egy széles plane, mint ahogy a 4. ábrán láthatjuk. Itt az alsó plane $8mm$ széles és $1A$ áram folyik benne, a felső vezetősáv pedig $1mm$ széles és nem folyik benne áram. Mindkettő hossza (a monitor síkjára merőlegesen) $10mm$. Így a plane öninduktivitása $1.8nH$. A kölcsönös induktivitás a két vezető között $1.3nH$. Az ábrán minden egyes erővonal ami körbeveszi a vizsgált vezetőt $0.24nWb$-t jelent, tehát a kölcsönös erővonalak $0.24nWb*5\approx 1.3nWb$-t jelentenek, ebből a kölcsönös induktivitás már egyszerűen kiszámolható $1.3nWb*1A=1.3nH$.

4. ábra: Kölcsönös- és saját erővonalak (FEMM)

Az 5. ábra a fordított felállást mutatja, itt a felső $1mm$ széles vezetőben folyik az $1A$ áram. Mivel ez sokkal keskenyebb ezért az öninduktivitása is nagyobb mint az alatta lévő plane-nek volt, jelen esetben $4.5nH$. Ebből kifolyólag sokkal több erővonal is veszi körbe, viszont a kölcsönös erővonalak száma nem változhat az előző felálláshoz képest, ahol szintén 5 erővonal vette körbe a másik, áramot nem vivő vezetőt.

5. ábra: Kölcsönös- és saját erővonalak (FEMM)

2. Értéke mindig kisebb mindkét vezető öninduktivitásánál.

A poszt címe: parciális öninduktivitás, most akkor nézzük meg ez mit is jelent. 

A fizikai valóságban az áram mindig egy hurokban folyik, mondhatjuk úgy is hogy visszatér a forrásához. Az előzőekben viszont mindig úgy vizsgáltunk vezeték szakaszokat, hogy azok nem egy áramhurok részei voltak, hanem térben elszeparált vezetékek. Az egyik végén képzeletben befolyattunk $1A$ áramot a másik végén pedig ki, nem foglalkoztunk azzal, hogy ilyen áram(kör) nem létezhet a valóságban. Amikor úgy vizsgáljuk egy vezetékszakasz induktivitását hogy az nem egy áramhurok része, akkor pontosan a parciális öninduktivitását kapjuk. Úgy kell tekinteni, hogy a vezetékszakaszon kívül áram nem folyik. A parciális induktivitás koncepciója egy matematikai konstrukció, mert a valóságban ilyen hurok nélküli áram nem létezhet, de matematikailag kiszámolható és a valóság számára hasznosítható. Ebből kifolyólag a parciális induktivitást mérni sem lehet.

A parciális induktivitásnak két típusa van:

• parciális öninduktivitás
• parciális kölcsönös induktivitás

Amiről a 2. és 3. ábrán szó volt az valójában mind parciális induktivitás volt. Az esetek többségében amikor egy bondszál, csatlakozó vagy egy vezetősáv induktivitásáról beszélünk, akkor valójában a parciális öninduktivitására kell gondolni.

A parciális induktivitás definíciója matematikai számításokon alapszik, most nézzük meg hogyan tudjuk kiszámolni, illetve hogyan nem. Definíció szerint egy vezeték szakasz parciális induktivitása a vezetékben folyó áram által létrehozott $\Phi$ fluxus osztva az őt létrehozó $I$ árammal. Ezt a $\Phi$ fluxust a $B$ fluxussűrűség felületi integráljaként kapjuk, a felületet pedig a 6. ábrán láthatjuk. A $A$ felületet egy téglalap amit egyik oldalról az áramot vivő vezeték határol, a vele szembeni oldal a végtelenben helyezkedik el, a maradék két oldal pedig merőleges a vezetékre és az előző két oldalt köti össze. Az integrálást azért kell a végtelenbe tartó felületen elvégezni, mert a $B$ fluxussűrűség csak itt csökken nullára, ugyanis a következő egyenlettel számolható:$$B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r}$$

Ebből a vezetőben folyó áram által létrehozott mágneses tér:$$\Phi=\int_{A}^{ }B\cdot dA$$
Ez után az induktivitás:$$L=\frac{\Phi}{I}$$

6. ábra: Parciális induktivitás számítása a fluxussűrűség alapján

Az előzőek alapján a $\Phi$ fluxust nem tudjuk direkt módon kiszámítani, mert az integrálást egy végtelen nagy felületre kellene elvégezni. Viszont van egy másik módszer amivel ki tudjuk számítani a $\Phi$ fluxust, mégpedig ha alkalmazzuk a Stokes-tételt ami felületi integrál és vonalintegrál között teremt kapcsolatot. Mivel a $\overline{B}$ fluxussűrűség vektor az $\overline{A}$ mágneses vektorpotenciál rotációja, $\overline{B}=\nabla \times \overline{A}$, ezért a Stokes-tétel alapján felírható:$$\Phi=\int_{A}^{ }\overline{B}\cdot dA=\oint \overline{A}\cdot dl$$Tehát megkaphatjuk úgy is a $\Phi$ fluxust, ha az $\overline{A}$ mágneses vektorpotenciál vonal menti integrálját számoljuk ki. Ez a vonal pedig nem más mint az előzőekben definiált $A$ felület körvonala. Első ránézésre nem úgy tűnik, mintha megoldottuk volna az integrálás határának végtelen voltát, mivel a végtelen nagy $A$ felületnek a körvonala is végtelen, lásd a 7. ábrán. Itt a végtelen nagy $A$ felületünk körvonala piros színnel van megjelenítve, a felületen az $\overline{A}$ mágneses vektorpotenciál vektora is ábrázolva van a fekete nyilakkal. A mágneses vektorpotenciál vektora mindig az áram irányával egyezik meg, és nagysága a vezetőtől távolodva csökken.

7. ábra: Parciális induktivitás számítása a mágneses vektorpotenciál alapján

Ha figyelembe vesszük, hogy az $\overline{A}$ mágneses vektorpotenciál a végtelenben nullára csökken, tehát a $c-d$ szakasz mentén az integrálja nulla. És azt hogy az $a-d$ és $b-c$ szakaszokra merőleges, tehát a vonal irányában nincs komponense, így az integrálja ezeken a szakaszokon is nulla. Akkor a $\Phi$ fluxust a következőképpen tudjuk kiszámolni:$$\Phi=\oint \overline{A} \cdot dl = \int_{a}^{b} \overline{A} \cdot dl$$ tehát elég a vezető mentén az $a-b$ pontok között elvégezni az integrálást, ez pedig már véges integrál.

A vezeték körül az $\overline{A}$ mágneses vektorpotenciált a következő egyenlettel számolhatjuk ki:$$\overline{A}=\frac{\mu_{0}I}{2\pi}sinh^{-1} \frac{l}{2r}$$ ahol $l$ a vezető hossza, $r$ pedig a vezető tengelyétől mért távolság. Így a példában szereplő $10mm$ hosszú és $0.5mm$ sugarú vezető parciális öninduktivitása:

$$L_{S}=\frac{\Phi}{I}=\frac{\int_{-5mm}^{+5mm} \overline{A} \cdot dl}{I} =\int_{-5mm}^{+5mm} \frac{\mu_{0}}{2\pi} sinh^{-1} \frac{l}{2r}= \int_{-5mm}^{+5mm} \frac{4\pi*10^{-7}}{2\pi}sinh^{-1} \frac{10mm}{1mm}=5.99nH$$
Az interneten böngészve többféle közelítő képletet találhatunk különböző keresztmetszetű vezetők parciális induktivitásának kiszámítására. A kör keresztmetszetű vezetőre vonatkozik a következő képlet, viszont csak akkor ad megfelelően pontos eredményt (néhány százalék pontos), ha a körvezető sugara jóval kisebb mint a hossza $r<<l$:
$$L_{S}=0.2l\left [ ln\frac{2l}{r}-0.75 \right ]$$ahol $L_{S}[nH]$ a vezető parciális öninduktivitása, $l[mm]$ a vezető hossza, $r[mm]$ a körvezető sugara (lásd: 8. ábra).

8. ábra: Egyenes körvezető parciális öninduktivitása

Ebből a képletből eredeztethető az az ökölszabály is, miszerint a kör keresztmetszetű vezető induktivitása $1nH/mm$, legyen szó pl.: egy bond huzal, egy kondenzátor láb, egy csatlakozó, vagy akár egy via parciális öninduktivitásáról. Ha ugyanis veszünk pl. egy $0.25mm$-es átmérőjű bondhuzalt aminek a hossza $1inch=25.4mm$, akkor ennek a parciális öninduktivitása az előző képlet alapján:
$$L_{S}=0.2*25.4mm \left [ ln\frac{2*25.4mm}{0.125mm}-0.75 \right ]=26.7nH$$ha ezt visszaosztjuk $1mm$-re, akkor az jön ki hogy a kör keresztmetszetű vezető parciális öninduktivitása $\approx 1nH/mm$, és ugye látszik, hogy az ökölszabály angolszász területről származik, mert ugyebár $1mm$-re nem lenne értelme kiszámolni a fenti bondhuzal induktivitását, mert nem teljesülne rá az hogy: $r<<l$.
Persze a valóságos áramkörökben nem elég pusztán a parciális öninduktivitásokkal számolni, figyelembe kell venni a parciális kölcsönös induktivitásokat is, hogy használható eredményt kapjunk. Erről majd a következő posztban fogok írni.
Most még szedjük darabjaira a közelítő képletet és nézzük meg milyen következtetéseket lehet belőle levonni:

1. A parciális induktivitás nő a vezeték hosszal, de érdekes módon nem lineárisan, hanem annál gyorsabb ütemben. Ha tehát kétszeres vezeték hosszal számolunk, nem kétszeres induktivitást kapunk, hanem többet, mert az $L$ induktivitás és az $l$ vezetékhossz között az alábbi arányosság áll fenn: $L\propto l*ln(l)$ (a $\propto$ jel az arányosság jele). Ezt a jelenséget a mozgó elektron mágneses terére lehet visszavezetni, ugyanis nem csak közvetlenül az elektron mellett jön létre mágneses tér, hanem előtte és mögötte is, ahogy a 8. ábrán látható. A mágneses tér közvetlenül az elektron mellett a legerősebb, és tőle távolodva gyorsan csökken. Ezért ha megtoldunk egy árammal átjárt vezetőt (növeljük a hosszát), a toldásban folyó áram (mozgó elektronok) nem csak közvetlenül saját maga mellett hoz létre erővonalakat, hanem azon vezető körül is amelyhez hozzá toldottuk. Tehát a toldásban folyó áram erősíti a mágneses terét a mögötte lévő vezetőnek is, és ez fordítva is igaz.
2. A parciális induktivitás csökken, ha nő a vezető $r$ sugara. Minél jobban szét tudjuk oszlatni az áramot a vezetőben, annál kisebb lesz az induktivitása. Fordítva: minél nagyobb az áram sűrűsége, tehát minél vékonyabb vezetőt használunk, annál nagyobb lesz a vezető parciális induktivitása. Így a végtelen kis sugarú vezetőnek végtelen nagy a parciális induktivitása. Az egyenes körvezető esetén a parciális öninduktivitás az $r$ sugár természetes alapú logaritmusával fordított arányban változik: $L\propto ln(r)$, tehát csak kis mértékben függ tőle.

9. ábra: Mozgó elektron mágneses tere

Parciális kölcsönös induktivitás

Ahogy az előzőekben már láttuk, a parciális kölcsönös induktivitás mindig két vezető között értelmezhető és azoknak az erővonalaknak a számát jelenti ami körbeveszi ugyan a vizsgált vezetőt, de nem az ő benne folyó áram hatására, hanem egy a közelében lévő vezetőben folyó áram hatására jöttek létre. Két vezető között a kölcsönös induktivitás értéke mindig kisebb, mint bármelyik vezető öninduktivitása $L_{M}<L_{S1} ~~\&~~ L_{M}<L_{S2}$.

Minél jobban távolítjuk egymástól a két vezetőt, annál kevesebb kölcsönös erővonalat számlálhatunk közöttük, ráadásul nem a köztük lévő távolsággal arányosan, hanem annál sokkal gyorsabb ütemben esik a számuk. Közelítő képlet a kölcsönös induktivitásra:$$L_{M}=0.2l\left [ ln\left ( \frac{2l}{s} \right ) -1 +\frac{s}{l} -\left ( \frac{s}{2l} \right )^{2} \right ]$$ahol $L_{M}[nH]$ a vezetők közti parciális kölcsönös induktivitás, $l[mm]$ a vezető hossza, $s[mm]$ a vezetők közti távolság (lásd: 10. ábra).

10. ábra: Egyenes körvezetők közti parciális kölcsönös induktivitás

Ha a 10. ábrán látható vezetékek egy áramhurok részei, akkor a hurok induktivitását a parciális induktivitások alapján ki tudjuk számolni, erről többet majd a következő posztból tudhatunk meg.