Bemelegítésképp itt az egyik kedvenc Kőhalmi jelenetem, amiben "apa" elmagyarázza fiának a mágnes működését:
Most hogy ezt már mind tudjuk, lépjünk egy szinttel feljebb. Villamosmérnökként manapság elkerülhetetlen, hogy az ember ne értsen legalább alapszinten a mágnesességhez. Főleg mióta széles körben elterjedtek a jó hatásfokú DC/DC konverterek, elkerülhetetlen hogy néha tekercs méretezésre adja az ember a fejét. Ezért fontos, hogy alapvető dolgokkal tisztában legyünk, ilyen például a fluxus, indukció, induktivitás, esetleg a térerősség és még sorolhatnám. A poszt célja egy olyan egyszerű és szemléletes kép megalkotása az alapjellemzőkről ami által egy villamosmérnök könnyebben el tud igazodni a mágneses tér útvesztőiben.
A mágneses tér jellemzőinek sorában elég hamar előjön az erővonalak használata. A már jól ismert nóta szerint: az erővonalak sűrűsége adja fluxussűrűséget (más néven az indukciót), az erővonalak összege pedig a fluxust. Azonban felvetődhet bennünk a kérdés: ezek az erővonalak tényleg léteznek? Ugyanis sokszor úgy beszélünk róluk, mintha tényleg létező vonalak lennének. Egyáltalán honnan erednek? Az interneten böngészve én egyetlen cikket sem találtam arról, hogy az erővonalak szerkesztése milyen módon történik. Akár a legegyszerűbb esetet véve, melyik fizikai jellemző szükséges a meghatározásához. Ebben a cikkben ezt próbálom elmagyarázni.
 |
| 1. ábra |
Az erővonalak a valóságban ugyan nem léteznek, mert ez csupán egy ábrázolási módja a vektortérnek, viszont egy jól bevált módszer a vektortér szemléltetésére. A térképen lévő szintvonalakhoz lehetne hasonlítani (1. ábra): a vonalak száma megmutatja, hogy milyen magasra jutottunk, a vonalak sűrűsége pedig megadja, hogy hol milyen meredek az emelkedés (gradiens). A mágneses tér esetében az erővonalak száma adja a fluxust (amit ezen az ábrán nem igazán lehet értelmezni, mert 3 dimenzió helyett csak 2 dimenzióban vannak ábrázolva az erővonalak), az erővonalak sűrűsége pedig megadja a tér erősségét. Mivel ez az ábra csak arra alkalmas, hogy kimutassuk a rokoni kapcsolatot a mágneses tér erővonalai és a térkép magasságvonalai között, ezért a fluxus és az indukció definiálásához egy másik ábrára lesz szükségünk.
Ha a mágneses teret láthatóvá tehetnénk, akkor valami hasonló képet kapnánk, mint a 2. ábrán, ahol a mágneses tér erősségét (vagy sűrűségét) a kék szín különböző árnyalataival ábrázoltuk. Azt a térjellemzőt, amit kék színnel jelenítettünk meg, lehet "mágneses tér sűrűségének" vagy "mágneses tér erősségének" is nevezni, tulajdonképpen mindkét elnevezés megállja a helyét.
Itt egy végtelen hosszú árammal átjárt vezeték $10mm$-es szakaszát látjuk, ebben a vezeték szakaszban $1A$ áram folyik és a mágneses tér erősségét a vezetékszakasz közepén egy síkmetszetben ábrázoltuk. Itt még eltekintünk attól, hogy a mágneses tér vektortér, ezért csak a mágneses tér erősségét (abszolút értékét) ábrázoltuk. Az egyre teltebb kék szín az egyre sűrűbb (erősebb) mágneses teret mutatja. A mágneses tér az egész vezetékhossz körül végig jelen van, viszont mi csak egy, az áram irányára merőleges síkmetszetben ábrázoltuk (mert így egyértelműbb képet kapunk a tér eloszlásáról). Fontos, hogy a mágneses teret mint folytonos teret képzeljük el, tehát ne úgy mint az erővonalakat. Mivel a vezetékünk geometriája nem változik (nem kanyarodik semerre), a vezetékszakasz hossztengelye mentén bárhol is ábrázolnánk a mágneses teret, ugyanezt a metszeti képet kapnánk. Az ábra annyiban csalóka, hogy a mágneses tér csak a végtelenben csökken nullára, viszont ezt nem lehetne ábrázolni.
 | |
|
A 3. ábra lényegét tekintve ugyanaz mint az előző. A különbség csak annyi, hogy ezen egy kicsit közelebbről nézzük a vezetékünket. Továbbá egy síkot is elhelyeztünk az ábrán amire még a későbbiekben szükségünk lesz. Ezen az ábrán is jól látható hogy a mágneses tér erőssége a vezetéktől mért $r$ távolság növekedésével csökkenést mutat.
 | |
|
Más szóval a mágneses tér eloszlása nem egyenletes (nem homogén), mert ahogy a vezetéktől távolodunk, a mágneses tér sűrűsége $\frac{1}{r}$ szerint csökken.
Azt a fizikai jellemzőt amit a könnyebb érthetőség kedvéért mágneses tér sűrűségének neveztem, a fizikában hivatalosan fluxussűrűségnek vagy indukciónak szokás nevezni (a két elnevezés ugyanazt a fizikai jellemzőt takarja). Szokásos jelölése: $B$, mértékegysége: $Tesla [T]$.
A fluxussűrűséget általában a Lorentz-erővel definiálják, ami azt mondja ki, hogy a mágneses térben mozgó töltésre ható erő a töltés nagyságával és sebességével valamint a tér fluxussűrűségével arányos:
$$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$$
Ha ez az összefüggés most nem is ad többlet információt számunkra, azért azt a fontos következtetést érdemes levonni belőle, hogy a mágneses térben létrejövő erőhatás nagysága arányos a fluxussűrűséggel. De nem csak ebben az esetben, hanem minden esetben. Erre egy másik példa a villanymotor lehet, ahol a tengelyen leadott nyomaték egyenesen arányos a légrés $B$ fluxussűrűségével. Tulajdonképpen találóbb lenne a fluxussűrűség helyett a mágneses térerősség elnevezés, mivel minden mágneses térben fellépő erőhatást kifejező képletben szerepel, de sajnos ez a név már foglalt. Modern szerzők ezért kerülik az előbbi elnevezéseket és helyettük egyszerűen a B-field és H-field elnevezéseket használják.
A végtelen hosszúságú egyenes vezető mágneses terének meghatározása egy klasszikus iskolapélda, mi is ezt vesszük most górcső alá. Egy ilyen vezeték körül a $B$ fluxussűrűséget, mint amilyet a 4. ábrán látunk, a következő egyenlettel határozhatjuk meg:
$$\left |B \right |=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r}$$
ahol : $\mu_{0}=4\pi *10^{-7}$ konstans, a vákuum permeabilitása, $I$ a vezetéken folyó áram, $r$ pedig a vezetőtől mért távolság. Ugyanezen az ábrán látható a $B(r)$ fluxussűrűség függvény.
 |
| 4. ábra |
A mi példánkban szereplő vezetéktől $r=4mm$ távolságban és a vezetékben folyó $I=1A$ esetén a $B$ fluxussűrűség számszakilag:
$$\left |B \right |=\frac{4\pi *{10^{-7}}*1A}{2\pi *4mm}=50\mu T$$
ez már olyan gyenge mágneses tér ami nagyjából megfelel a Föld felszínen mérhető mágneses terének nagyságával (sok esetben elhanyagolható érték). Viszonyításképp egy ma már sok helyen előforduló neodímium mágnes pólusainál a $B$ fluxussűrűség elérheti az $1.4T$-t is ami 30000-szer erősebb a Föld felszínén mérhető értékhez képest. De létrejöhet még ehhez képest is extrém értékű fluxussűrűség $(10^{11}T)$ bizonyos neutroncsillagokban, ezeket nevezik magnetároknak.
Fontos észben tartani, hogy a mágneses tér (ahogy az előzőekben már említettük) az egész vezetékszakasz mentén végig jelen van. Ennek megfelelően az 5. ábrán a már előzőleg is felvett felületen ábrázoltuk a $B$ fluxussűrűséget. A változás csak annyi, hogy most egy teljesen másik síkon (metszeten) ábrázoltuk. Az egyre teltebb kék szín itt is az egyre nagyobb fluxussűrűséget jelzi (és képzeljük hozzá hogy a tér csak a végtelenben csökken nullára).
 | |
|
A mágneses tér egy másik fontos jellemzője az indukciófluxus vagy röviden fluxus, szokásos jelölése: $\Phi$, mértékegysége: $Weber [Wb]$. A fluxussal a mágneses tér mennyiségét mérjük. Tehát, ahogy a kenyeret kilogrammban mérjük, a tejet literben, úgy a mágneses teret weberben mérjük.
A mágneses tér egy olyan vektortér ahol az erővonalak önmagukba záródnak, ezért forrásmentesnek nevezzük. Ha egy hétköznapi életből vett példával akarnánk könnyebben elképzelhetővé tenni ezt a vektorteret, akkor egy pohárban örvénylő vízhez lehetne hasonlítani.
Itt a vízmolekulák különböző sugarú körpályákon mozognak, és az örvény közepétől kifelé haladva a molekulák $v$ sebessége egyre csökken. Ugyanilyen tulajdonságot mutat a mágneses tér esetén is a vezetéket körülvevő $\Phi$ fluxus sűrűsége, ez is a vezetőtől távolodva fokozatos csökkenést mutat. A pohár örvénylő víz esetén a vízmolekulák körpályán mozognak, ezek sebesség vektora a befutott körpályára minden pontban érintőirányú. Ugyanígy a $B$ mágneses fluxussűrűség is vektor, bár eddig eltekintettünk tőle, mert csak az abszolút értékét vizsgáltuk. Az egyenes vezető mágneses térénél is felrajzolhatunk tetszőleges számú koncentrikus körvonalat, amelyek mentén a $B$ fluxussűrűség azonos nagyságú, ezeket nevezzük mágneses erővonalaknak. A $B$ fluxussűrűség vektorának iránya szintén érintőirányú, a jobbkéz-szabály alkalmazásával határozható meg, lásd az ábrán.
 |
| Szerző: Jorge Stolfi |
 |
| http://moodle2.rockyview.ab.ca/ |
De mivel a mágneses tér nem egy hétköznapi értelemben vett anyag (mint pl. a fenti pohár víz), hanem az anyag egy speciális megjelenési formája, ezért ne úgy gondoljunk rá mintha valami anyag örvénylene a vezető körül, a hasonlat csak arra jó hogy a vezeték körül létrejövő vektorteret egy hétköznapi példával szemléletesebbé tegyük.
A mágneses fluxus tulajdonképpen a matematikai vektoranalízisben értelmezett fluxussal teljesen azonos, ami egy $A$ felületen átáramló anyag vagy energia mennyiségét jelenti. A mágneses tér esetében a fluxust a fluxussűrűség vektor felületi integráljaként értelmezzük.
$$\Phi =\int_{A}^{ }BdA$$
Mivel a mágneses térben energia tárolódik ezért értelmezhető rá a fluxus.
A mi példánkban létrejövő $\Phi$ teljes mágneses fluxust, tehát a vezetékben folyó áram által létrehozott összes mágneses teret, úgy kapjuk meg, ha a $B$ fluxussűrűséget integráljuk egy olyan felületen ahol az összes erővonal átmegy. Ezt a felületet (Surface) láthatjuk a 6. ábrán, vagy legalábbis egy részletét. Ugyanis a $B$ fluxussűrűség a vezetőtől mért távolságtól $\frac{1}{r}$ szerint függ, ezért belátható, hogy $r=\infty$-nél csökken nulla értékűre. Tehát ha az $I$ áram által létrehozott teljes $\Phi$ fluxust akarnánk meghatározni, akkor az integrálást egy $A=10mm*\infty$ területű négyzeten kellene elvégeznünk.
A $B$ fluxussűrűség integrálfüggvényét bordó színnel láthatjuk ugyanezen az ábrán. Mivel a $B$ fluxussűrűség a vezetékhez közel vesz fel nagy értéket, ezért ennek az integrálfüggvénye, ami nem más mint a $\Phi$ fluxus itt emelkedik a legmeredekebben. A $\Phi(r)$ függvény értéke tehát egy bizonyos $r$ esetén azt adja meg, hogy azon az $A=l*r$ felületen mennyi mágneses erővonal halad keresztül. Itt fontos még megjegyezni, hogy a fluxussűrűség a mágneses tér egy pontjának jellemzője, viszont a fluxus már egy felületre vonatkozó jellemzője.
 | |
|
Az előbb azt írtuk, hogy ha az áram által létrehozott összes $\Phi$ mágneses fluxust szeretnénk meghatározni, akkor egy a $\infty$-be érő felületen kellene elvégeznünk a $B$ fluxussűrűség integrálását. Ráadásul a $B$ fluxussűrűség csak $r=\infty$-nél csökken nullára, tehát azt kapjuk, hogy $\Phi =\int_{A}^{ }BdA=\infty Wb$. Tehát a véges hosszúságú vezetékünk körül végtelen nagy $\Phi$ fluxus jön létre. Ez azért is ellentmondásos, mert a mágneses térben tárolt energia egyenesen arányos a $\Phi$ fluxussal és az őt létrehozó $I$árammal: $W=\frac{1}{2}\Phi I$. Tehát végtelen nagy energia is tárolódik benne.
Tudjuk, hogy ez gyakorlatilag nem létezik, mert egy $10mm$-es vezetékszakasz körül a mágneses térben nem tárolódhat $\infty$ energia (kipróbáltam, sajnos tényleg nem így van). Az ellentmondást azzal oldhatjuk fel, hogy elválasztjuk a matematikát a fizikai valóságtól. Egy olyan vezetékszakasz amiben úgy folyik áram, hogy az egyik végén megjelenik a semmiből $1A$, átfolyik a vezetékszakaszon, majd a másik végén eltűnik a semmibe, ilyen csak a matematikában létezik. Egzakt módon kiszámolható pl. a Biot-Savart törvény alkalmazásával, de a fizikai valóságban ilyen nem létezhet, ugyanis a valóságban az áram mindig egy zárt hurokban folyik. Ha zárt hurokban gondolkodunk, akkor a kapott fluxussűrűség függvényt is célszerű ezen a zárt hurok által körülhatárolt felületen integrálni (amin ugye az összes erővonal átmegy), aminek a végeredménye egy véges érték lesz, gondoljunk csak az 1. ábrára. Azt ne mondjuk, hogy ezért a matematikailag jól leírható vezetékszakasz példája haszontalan, mert vannak dolgok amik ez által sokkal könnyeben megérthetők, mint egy a valóságból vett példa által.
A 7. ábrán láthatjuk, hogy a mágneses erővonalakat (szaggatott kékkel) tulajdonképpen a fluxussűrűség felületi integrál függvényéből tudjuk megszerkeszteni. Az ábrán megrajzolt $10mm*5mm=50mm^{2}$-es felületen a $\Phi$ fluxus majdnem $5nWb$-t. Ha minden egyes erővonal $1nWb$-nyi fluxust reprezentál a felületen belül, akkor pontosan ennyi és ilyen eloszlású erővonalakat kapunk. Tehát mindig akkor kapunk egy új erővonalat, ha a forrástól (vezetéktől) távolodva az éppen aktuális $A=l*r$ felületen a fluxussűrűség integrálfüggvénye eléri a megjelenítés felbontásának egy egész számú többszörösét. Itt ugye a felbontást $1nWb$-re választottuk, ha kisebbre választottuk volna, akkor több erővonalat kapnánk.
Most már látjuk, hogy az erővonalak száma valóban a $\Phi$ fluxust adja, az erővonalak sűrűsége pedig a $B$ fluxussűrűséget. Tulajdonképpen az erővonalakkal való ábrázolás során a $\Phi$ fluxust kvantáljuk a nekünk tetsző felbontással (kvantummal).
 | |
|
Az utolsó ábra azt próbálja szemléltetni hogy ha valóságos 3 dimenzióban akarjuk ábrázolni az erővonalakat (8. ábra), akkor nem koncentráljuk az összes erővonalat a vezeték szakaszunk közepére, hanem az $X$ tengely irányában is elosztjuk őket. Tulajdonképpen csak annyi változott, hogy a felbontásunkat lecsökkentettük $1/3nWb$-re és elosztottuk az így kapott erővonalakat az $X$ tengely mentén is.
 | |
|
 | |
|
Nincsenek megjegyzések:
Megjegyzés küldése